¿Cómo puedo encontrar el rango de una función?

La función se puede construir a partir de puntos: sustituye el valor de la variable en la fórmula y coloca los puntos correspondientes en el gráfico. Pero no hay garantía de que no te pierdas el punto de extrema o ruptura. Y el proceso es largo y tedioso. Por lo tanto, es mucho más racional encontrar el dominio de definición, el rango de valores y todos los puntos críticos de la función. Hablemos de esto con más detalle.

Cuál es el alcance de la función

El rango del valor de la función y = f (x) es el conjunto de todos los valores de la función que toma al iterar todos los valores de x del dominio de definición x € X. La región de valor se denota como E y = f (x).

Sobre el alcance de la definición está escrito en el artículo Cómo encontrar el alcance de la definición de la función. Estas dos áreas a veces se confunden, lo cual es inaceptable. Para comprender mejor de qué se trata, considere ejemplos específicos.

Por ejemplo, la función y = f (x) = sinx. Para mayor claridad, puedes dibujar una sinusoide. Entonces vemos que x puede variar de -∞ a + ∞, y = f (x) se define para x ∈ -∞; + ∞. En este caso, f (x) varía de -1 a +1, no toma ningún otro valor. Por lo tanto, el dominio de definición de la función x € -∞; + ∞, el rango del valor E y = -1; +1. Es decir. El dominio de definición es el valor de x para el cual existe la función. Un rango de valores son aquellos valores de la función que toma en todo el dominio de definición.

Considere otro ejemplo simple: y = 1 / x. También sabemos cómo dibujar hipérbolas, y sabemos que para x = 0 el valor de la función no está definido, es decir en este punto no existe. Para x = 0, tenemos una discontinuidad de la función. Por lo tanto, el dominio de definición es x € (-∞ <0; 0 <∞), la región del valor Ey = (-∞ <0; 0 <∞).

Si conocemos el dominio de la definición de función, necesitamos encontrar el valor máximo y mínimo de la función: este es el rango de valores.

Cómo encontrar el rango de una función: ejemplo

• Tenemos la función y = 1 / (x2 - 4).

Primero buscamos la derivada de la función para encontrar los puntos extremos.

• y "= (1 / (x² - 4))" = -2x / (x² - 4) ².

De esta expresión sigue, el primer punto extremo en x = 0, ya que en este punto, la derivada cambia de signo. Porque el signo cambia de + a -, este es el máximo.

El valor máximo de la función para x = 0:

• у = 1 / (х² - 4) = у = 1 / (0² - 4) = -1 / 4.
• y max = -1/4.

Ahora encontramos los puntos de discontinuidad de la función que ocurren cuando el denominador de la derivada es 0.

• (х² - 4) ² = 0.

Expandimos la expresión en multiplicadores:

• (x - 2) (x + 2) = 0

Las raíces de la ecuación: x = 2; -2. Por lo tanto, estos son los puntos de discontinuidad de la función. Determinamos a qué tiende la función en estos puntos.

• Lim (1 / (x2 - 4)) = lim1 (1 / (x - 2) (x + 2)) = lim (1 / (2 - 2) (2 + 2)) = lim ((1/0) (-1/4)) = -∞.
• x → - + 2

En los puntos de discontinuidad, la función tiende a menos infinito:

• Para x = + -2 y = 1 / (x² - 4) → - ∞

Por lo tanto, en el intervalo x = (-2; 0), y aumenta de -∞ a -1/4, y en el intervalo x = (0; 2) y disminuye de -1/4 a ∞. Alcance de la función:

• E y = (-∞; -1/4).

Algoritmo general para determinar el rango de valores de las funciones

1. Tomamos la derivada de la función para encontrar los puntos críticos: máximo, mínimo, puntos de discontinuidad.
2. Encontramos el valor de la función en los puntos de extrema.
3. Encontramos el valor de los límites de la función en los puntos de discontinuidad.
4. Definir el alcance de la función. Es más fácil de hacer en la tabla.

Pero si no hay tiempo, también puede encontrar el alcance de la definición de la función en línea, es fácil y rápido.